Koło Naukowe Matematyków UŚ ENG KNM
O NAS DLA LICEALISTOW FORUM

XXXVI sesja KNM
Sploty i transformaty

Szczyrk, 16 - 18 maja 2014

PROPOZYCJE TEMATÓW

  • Sugestie do wszystkich tematów:

    - definicja, określenie dziedziny (jakie funkcje przekształcamy) i przedziwdziedziny (na jakie funkcje)
    - zastanowić się nad poprawnością określenia (klasa funkcji, dla których transformata istnieje)
    - podstawowe własności: liniowość, mnożenie funkcji, różniczkowanie i całkowanie
    - przykłady dla podstawowych funkcji: 1, indykator przedziału/zbioru, x, 1/x, x^n, e^x, ln(x), sin, cos, inne dla których transformata ma szczególnie ważną postać,
    - historia powstania, motywacja, intuicja stojąca za transformacją, zastosowania, możliwe uogólnienia,
    - transformata odwrotna - czy istnieje jakiś sensowny (efektywny) wzór,
    - czy splot można traktować jako działanie dwuargumentowe w pewnej strukturze algebraicznej, jakie ma własności (łączność, przemienność, istnienie elementu neutralnego, odwrotnego)?

    Warto zacząć od strony:www.en.wikipedia.org/?/List_of_transforms

    Po zdecydowaniu się na temat i zaznajomieniu z zagadnieniem, należy zerknąć ponownie na listę tematów i zorientować się, czy jakiś temat o numerku niższym (lub wyższym) nie nakłada się zbytnio na wybrany, ewentualnie obgadać tę kwestię z osobą, która dany temat przygotowuje.

  • REFERATY WPROWADZAJĄCE:

    1. Wykład wprowadzający. Całka Stjeltjesa - krótki referat (15 minut), definicja, wytłumaczenie idei + przykład. Źródło: np. Rudin - Analiza Matematyczna. Plus kilka zdań o tym jak całkuje się funkcje zespolone - argumentu rzeczywistego o wartościach zespolonych i argumentu zespolonego o wartościach zespolonych - np. Leja, Analiza zespolona.

    2. Wprowadzenie do transformat. Np. Lukacs "Characteristic functions" - paragraf 1.3 "The method of integral transforms".

  • ŁATWE:

    3. Splot Dirichleta. Funkcje arytmetyczne. Splot Dirichleta. Wzór inwersyjny Mobiusa. Źróło: Apostol - Analytic Number Theory.

    4. Transformata Fenchela-Lagrange'a: Funkcje wypukłe i wklęsłe. Otoczka wypukła. Transformata i jej interpretacja geometryczna. Zastosowanie. Infimal convolution. Rockafellar - Convex Analysis.

    5. Funkcja tworząca ciągu - definicja, własności (pochodna i całka), zastosowanie: rozwiązywanie rekurencji. Przykład. Czemu odpowiada dodawanie, a czemu mnożenie funkcji tworzących? Czy można traktować funkcję tworzącą jako transformatę? z-transform: en.wikipedia.org/?/Z_transform

    6. Transformata Stirlinga, liczby Stirlinga I i II rodzaju: en.wikipedia.org/?/Stirling_transform

  • ŚREDNIO TRUDNE:

    7. Splot miar. Splot funkcji. Splot gęstości prawdopodobieństwa (i interpretacja jako gęstość sumy niezależnych zmiennych losowych. Splot jako metoda wygładzania funkcji.

    8. Funkcja charakterysytyczna rozkładu pradopodobieństwa. Jej zwiazek z transformatą Fouriera. Wzór na odwrócenie. Przykład funkcji charakterystycznej wektora losowego. (Lukacs)

    9. Transformata Laplace'a:en.wikipedia.org/?/Laplace_transform
    a) Definicja, własności.
    b) Funkcja generujaca momenty.
    c) Transformata Laplace'a i rozwiązywanie równań różniczkowych.
    d) Odwrotna transformata Laplace'a.

  • TRUDNE, ALE PRZYDAŁOBY SIĘ:

    10. Transformata Fouriera. Jest dużo źródeł, np. Rudin "Analiza rzeczywista i zespolona" (uwaga: książkę należy czytać ze zrozumieniem i uwagą - jest w niej sporo błędów drukarskich)

    11. FFT - Fast Fourier Transform.

    12. Rachunek operatorów Heaviside'a - Mikusińskiego.
    Artykuł o Mikusińskim - rachunek operatorów - splot jako mnożenie.
    Generalized functions and convergence : memorial volume for Professor Jan Mikusiński, 13-18 June 1988, Katowice, Poland / eds. Piotr Antosik, Andrzej Kamiński ; Institute of Mathematics Polish Academy of Sciences. - Singapore [etc.] : World Scientific, cop. 1990.

    James - Student's Guide to Fourier Transforms - zastosowania
    Beerends - Fourier and Laplace Transforms

  • DODATKOWE, DLA PASJONATÓW:

    Transformata Esschera: Gerber.Shiu - Option Pricing by Esscher Transform
    Cramer Transform - Aubin "Optima and Equilibria", str 53
    Agoshkov,Dubovski,Shutnyeav - Methods for solving... - rozdział 4 - zastosowania w fizyce
    Sploty Bernoulliego - trudniejsze, coś o fraktalach, mam kilka artykułów
    Transformata Mellina:en.wikipedia.org/?/Mellin_transform
    Transformata Hilberta
    Zastosowanie z-transform do łańcuchów Markowa, Kaufmann.Cruon - Dynamic Programming, str. 183

    Za przygotowanie listy propozycji bardzo dziękujemy Panu Doktorowi Rafałowi Kucharskiemu.
    ostatnia aktualizacja: 10.05.2014

    • Kontakt:

    		Koło Naukowe Matematyków Uniwersytetu Śląskiego
    40-007 Katowice, ul. Bankowa 14 (pokój 524)
    tel. (032) 359-20-96, e-mail: knm@knm.katowice.pl